Sinopsis

Hoy en día, el mundo editorial, con el inestimable apoyo de la informática,
está experimentando cambios tan profundos que permiten
un hacer que era impensable hace sólo unos pocos años. Se están flexibilizando
tanto las cosas que resultan posibles hasta los libros a la carta,
esto es, libros adaptados a las necesidades concretas de cada plan de
estudios, de cada carrera, de cada facultad o escuela, de cada determinada
asignatura.
Aunque aquí hablamos pensando en nuestro caso concreto, el de las
Matemáticas, lo que decimos es igualmente válido para otras disciplinas.
Llevamos ya un tiempo ocupándonos de confeccionar una especie
de gran almacén o colección de textos, de pequeños libros, de modo que
hemos llegado a un todo que abarca la inmensa mayoría de las materias
que, organizadas de uno u otro modo, figuran en los planes de estudios
de los actuales grados universitarios. En algún caso, para que tal cobertura
tuviera efectividad, ha habido que duplicar algunas de las materias,
con distinta amplitud o profundidad; pero para la mayoría de los temas
esto no ha sido necesario. Para cada asignatura concreta, tomamos de
nuestro todo los capítulos pertinentes y los orquestamos con buen juicio
y, añadiendo aquellos ejercicios y problemas que mejor cuadren, terminamos
componiendo un texto pertinente y proporcionado.
El que oiga esto por primera vez, quizá llegue a pensar que no es
buen hacer el nuestro. La experiencia dice lo contrario; la experiencia
dice que, salvo una rara excepción, los textos que así venimos confeccionando,
que ya son muchos, resultan del agrado y a satisfacción de
cuantos los han venido utilizando, tanto de profesores como de alumnos.
Y, como no tenemos abuela, pensamos que, de día en día, aumenta
nuestra pericia en esto de componer libros de texto a la carta.

En el caso concreto de este manual, Cálculo Vectorial y Complejo
para el Grado en Física, se han confeccionado dos partes, la primera
dedicada al Cálculo Vectorial, consta de 7 capítulos, y la segunda dedicada
a la Variable Compleja tiene 6 capítulos y 3 apéndices, ambas partes
incluyen teoría y ejercicios, sin duda, muy útiles para el futuro
ingeniero.
Y ya que han salido a colación los libros de texto que se utilizaban
en los planes anteriores, en los anteriores a esta «reforma Bolonia» de
ahora, creemos oportuno decir que, para lo de hoy, los textos de lo de
ayer no son los más adecuados. Los libros, tanto ayer como hoy, para
ser utilizables, serán rigurosos y precisos, serán claros. Pero hoy han de
ser, además, especialmente accesibles, particularmente llanos, exageradamente
inteligibles. Ha pasado ya la época en los que el profesor tenía
holgura para extenderse en aclaraciones o ampliaciones; en estos momentos,
el tiempo está tasado y la disposición del ánimo es menguada.
Lo que acabamos de señalar ha sido determinante para nosotros, a ello
hemos estado mirando constantemente mientras confeccionábamos
este manual.

Índice

Parte I. CÁLCULO VECTORIAL
Capítulo 1. LOS ESPACIOS p Y Ep 3
1.1. Los espacios euclídeos p (vectorial) y Ep (afín) 3
1.2. Distancia y entornos 8
1.3. Convergencia en p (o en Ep) 11
1.4. Abiertos y cerrados 14
1.5. Conjuntos conexos 17
Ejercicios y Cuestiones 19
Capítulo 2. CONTINUIDAD DE FUNCIONES
(VARIAS VARIABLES) 29
2.1. Límite de una función en un punto 29
2.2. Propiedades de los límites 31
2.3. Funciones continuas 35
2.4. Propiedades globales de la continuidad 38
2.5. Continuidad uniforme 39
Ejercicios y Cuestiones 43
Capítulo 3. DERIVADAS; DIFERENCIACIÓN 55
3.1. Derivadas (según vectores y parciales) 55
3.2. Diferencial de una función 60

3.3. Derivadas y diferenciales de orden superior 67
3.4. Derivadas y diferenciales de las funciones compuestas 72
Ejercicios y Cuestiones 79
Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 97
4.1. Funciones implícita e inversa 97
4.2. Extremos relativos 104
4.3. Extremos relativos condicionados 107
Ejercicios y Cuestiones 113
Capítulo 5. OPERADORES DIFERENCIALES 129
5.1. Recordatorios sobre los productos vectorial y mixto 129
5.2. Gradiente 133
5.3. Divergencia 138
5.4. Rotacional 142
5.5. Laplaciano 147
5.6. Apéndice (algunas relaciones entre los operadores
diferenciales) 150
Ejercicios y Cuestiones 151
Capítulo 6. INTEGRALES MÚLTIPLES
Y PARAMÉTRICAS 173
6.1. Integración en intervalos 173
6.2. Integración en conjuntos acotados 178
6.3. Métodos de integración 182
6.4. Integrales paramétricas 187
6.5. Integrales paramétricas impropias 191
Ejercicios y Cuestiones 197
Capítulo 7. INTEGRALES CURVILÍNEAS
Y DE SUPERFICIE 217
7.1. Algo sobre curvas 217
7.2. Integración curvilíneas 220
7.3. Campos irrotacionales; función potencial 223
7.4. Independencia del camino 226

7.5. Teorema de Green
(o de la divergencia en dimensión 2) 227
7.6. Algo sobre las superficies 230
7.7. Integrales de superficie 238
7.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes 242
Ejercicios y Cuestiones 253
Parte II. VARIABLE COMPLEJA
Capítulo 1. NÚMEROS COMPLEJOS 287
1.1. Definición de un número complejo.
Operaciones básicas 287
1.2. Representación geométrica de un número complejo 291
1.3. Potencias y raíces de un número complejo 295
1.4. Algunas definiciones topológicas en el plano
complejo 297
Ejercicios y Cuestiones 303
Capítulo 2. FUNCIONES ANALÍTICAS 321
2.1. Función de variable compleja 321
2.2. Límite de una función compleja 323
2.3. Continuidad de una función compleja 326
2.4. Derivabilidad de una función compleja 327
2.5. Función analítica 331
2.6. Funciones armónicas 335
Ejercicios y Cuestiones 339
Capítulo 3. FUNCIONES ELEMENTALES 355
3.1. Función exponencial 355
3.2. Funciones trigonométricas 359
3.3. Funciones hiperbólicas 363
3.4. Función logaritmo 364
3.5. Potencias complejas 372
3.6. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 374
Ejercicios y Cuestiones 377

Capítulo 4. INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO 393
4.1. Integrales definidas 393
4.2. Contornos 396
4.3. Integrales curvilíneas 400
4.4. Primitivas e independencia del camino 404
4.5. Teorema de Cauchy-Goursat 407
4.6. Fórmula integral de Cauchy 414
4.7. Acotación de funciones analíticas 418
Ejercicios y Cuestiones 421
Capítulo 5. SERIES EN EL PLANO COMPLEJO 443
5.1. Series de números complejos 443
5.2. Series de potencias 445
5.3. Series de Taylor 448
5.4. Series de Laurent 454
5.5. Ceros y singularidades de una función 456
Ejercicios y Cuestiones 461
Capítulo 6. TEORÍA DE LOS RESIDUOS 477
6.1. Residuos 477
6.2. Teorema de los residuos 481
6.3. Aplicación al cálculo de integrales reales 484
Ejercicios y Cuestiones 499
Apéndice A. TEOREMA DE ROUCHÉ Y PRINCIPIO
DEL ARGUMENTO 525
A.1. Residuo logarítmico. Teorema de Rouché 525
A.2. Principio del argumento 529
Apéndice B. TRANSFORMACIÓN CONFORME 537
B.1. Transformación conforme 537
B.2. Transformación de Möbius 540
Apéndice C. TRANSFORMACIONES DE REGIONES 553