Sinopsis

Este texto ha sido concebido como ayuda a los estudiantes de las ingenierías y licenciaturas en las que el Análisis de Fourier es uno de sus fundamentos teóricos. La variedad de planes de estudio (en donde el Análisis de Fourier aparece unas veces constituyendo una materia única, otras distribuido por temas en diferentes asignaturas; en unos en primer curso, en otros en cursos posteriores) nos ha hecho plantear un desarrollo en tres grandes capítulos que pueden tratarse (estudiarse) tanto de forma independiente como formando un todo, coherente y ordenado. En el primer capítulo se presenta la teoría de Fourier como generalización de los espacios euclídeos de dimensión finita a los espacios de funciones que son infinito-dimensionales. En estos espacios toda función queda expresada como «combinación lineal infinita» de los elementos de una base de Fourier, formada por infinitas funciones con unas ciertas cualidades. Entre las bases de Fourier más interesantes se destacan aquí las asociadas a las denominadas familias de polinomios ortogonales (Legendre, Thebychev, Hermite, etc.), de enorme importancia en las aplicaciones, dejando para el Capítulo 2 las bases trigonométricas. Su carácter introductorio y de aplicación práctica justifica que se trabaje con funciones integrables Riemann, aunque, en el apéndice, se expone de forma sintética el concepto de integral de Lebesgue, necesario en la teoría general de espacios de funciones. Trata el segundo capítulo el desarrollo clásico de Fourier, en donde toda función se identifica con una serie de funciones trigonométricas que es, justamente, la «combinación lineal infinita» que se establece en el primer capítulo. Por eso recordamos, en el apéndice, conceptos y propiedades de las series funcionales, objeto del Análisis Matemático. Se cierra la parte teórica del texto con el tercer capítulo, en donde se desarrolla, en su forma más clásica, lo más básico de las transformaciones continuas de Fourier, de mayor interés en las aplicaciones más inmediatas para el estudiante. Completamos cada capítulo con ejercicios y cuestiones relativas a la teoría expuesta y, al final, hemos seleccionado 25 problemas útiles (exámenes) detalladamente explicados, lo que le permite al estudiante una excelente comprensión de lo que significa el Análisis de Fourier y, de ahí, de forma natural, éxito en sus objetivos más próximos. Raúl Cabanes Martínez

Índice

Capítulo 1. Espacios euclídeos Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 2. Series de Fourier Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 3. Transformadas de Fourier Ejercicios y Cuestiones

Apéndice A. La integral de Lebesgue

Apéndice B. Familias de polinomios ortogonales

Apéndice C. Convergencia de series funcionales

Apéndice D. Tablas de series y transformadas de Fourier Apéndice E. Notas prácticas de cálculo 25 Problemas útiles