Sinopsis

Si preguntamos a un alumno de primeros cursos de ciencias o
ingeniería qué es un número complejo, lo más probable es que su respuesta
no vaya más allá de definir el número i como la raíz de menos
uno (i = –1) y utilizarlo para obtener las raíces de un polinomio
cualquiera. Pero esta aplicación, aun siendo muy sencilla, se desprende
de una herramienta muy poderosa: la teoría de funciones de análisis
complejo.
Para una persona familiarizada con el análisis real, el salto cualitativo
que debe realizar para entender y manejar esta teoría es grande,
pero muy fructífero. El objetivo de este texto es doble. Por una parte,
ayudar en el salto exponiendo, de forma rigurosa pero a la vez intuitiva,
los aspectos más relevantes del análisis complejo y sus similitudes con
la teoría de funciones de variable real. Por otra, abrir la puerta a la
comprensión de las numerosas herramientas existentes para la resolución
de problemas en ciencias e ingeniería.
La experiencia docente nos ha enseñado que, en muchas ocasiones,
los alumnos desprecian la teoría por árida y obtusa, y acuden directamente
a resolver la colección de problemas de examen que tienen a su
disposición. Los errores cometidos son dos:
• Generalmente un problema de examen engloba varios aspectos
de la materia estudiada y hay que verlo dentro del contexto de la
asignatura completa. Para aprender a utilizar las herramientas
que nos brinda la teoría es conveniente empezar con la resolución
de ejercicios breves pero clarificadores.
• Cuando compramos un electrodoméstico son muy pocos los que
leen atentamente las instrucciones de uso. Si calientas un objeto
metálico en un microondas, éste se estropea. Seguramente en el
manual de instrucciones habrá una advertencia del tipo si calientas un objeto metálico entonces el microondas se quema. La teoría
no es un simple manual de instrucciones que se pueda dejar
en el cajón. Recoge un conjunto de leyes que garantizan el buen
funcionamiento del procedimiento utilizado para la resolución de
un problema.
El presente libro pretende ayudar a los alumnos a comprender todo
lo que es capaz de ofrecer la teoría de análisis complejo desde un punto
de vista práctico, de forma concisa y sistemática siguiendo el esquema
propio de esta colección de libros: enunciar los resultados teóricos,
asimilar los conceptos mediante varios ejercicios sencillos de aplicación
directa y aprender a relacionar los conocimientos adquiridos en
las sucesivas etapas a través de problemas más elaborados.

Índice

Capítulo 1. NÚMEROS COMPLEJOS 1
1.1. Definición de un número complejo.
Operaciones básicas 1
1.2. Representación geométrica de un número complejo 5
1.3. Potencias y raíces de un número complejo 9
1.4. Algunas definiciones topológicas en el plano complejo 11
Ejercicios y Cuestiones 17
Capítulo 2. FUNCIONES ANALÍTICAS 35
2.1. Función de variable compleja 35
2.2. Límite de una función compleja 37
2.3. Continuidad de una función compleja 40
2.4. Derivabilidad de una función compleja 41
2.5. Función analítica 45
2.6. Funciones armónicas 49
Ejercicios y Cuestiones 53
Capítulo 3. FUNCIONES ELEMENTALES 69
3.1. Función exponencial 69
3.2. Funciones trigonométricas 73
3.3. Funciones hiperbólicas 77
3.4. Función logaritmo 78
3.5. Potencias complejas 86
3.6. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 88
Ejercicios y Cuestiones 91

Capítulo 4. INTEGRACIÓN EN EL CAMPO COMPLEJO 107
4.1. Integrales definidas 107
4.2. Contornos 110
4.3. Integrales curvilíneas 114
4.4. Primitivas e independencia del camino 118
4.5. Teorema de Cauchy-Goursat 121
4.6. Fórmula integral de Cauchy 128
4.7. Acotación de funciones analíticas 132
Ejercicios y Cuestiones 135
Capítulo 5. SERIES EN EL PLANO COMPLEJO 157
5.1. Series de números complejos 157
5.2. Series de potencias 159
5.3. Series de Taylor 162
5.4. Series de Laurent 168
5.5. Ceros y singularidades de una función 170
Ejercicios y Cuestiones 175
Capítulo 6. TEORÍA DE LOS RESIDUOS 191
6.1. Residuos 191
6.2. Teorema de los residuos 195
6.3. Aplicación al cálculo de integrales reales 198
Ejercicios y Cuestiones 213
Apéndice A. TEOREMA DE ROUCHÉ Y PRINCIPIO
DEL ARGUMENTO 239
A.1. Residuo logarítmico. Teorema de Rouché 239
A.2. Principio del argumento 243
Apéndice B. TRANSFORMACIÓN CONFORME 251
B.1. Transformación conforme 251
B.2. Transformación de Möbius 254
Apéndice C. TRANSFORMACIONES DE REGIONES 267