Sinopsis

Hoy en día, el mundo editorial, con el inestimable apoyo de la informática, está experimentando cambios tan profundos que permiten un hacer que era impensable hace sólo unos pocos años. Se están flexibilizando tanto las cosas que resultan posibles hasta los libros a la carta, esto es, libros adaptados a las necesidades concretas de cada plan de estudios, de cada carrera, de cada facultad o escuela, de cada determinada asignatura.
Aunque aquí hablamos pensando en nuestro caso concreto, el de las Matemáticas, lo que decimos es igualmente válido para otras disciplinas. Llevamos ya un tiempo ocupándonos de confeccionar una especie de gran almacén o colección de textos, de pequeños libros, de modo que hemos llegado a un todo que abarca la inmensa mayoría de las materias que, organizadas de uno u otro modo, figuran en los planes de estudios de los actuales grados universitarios. En algún caso, para que tal cobertura tuviera efectividad, ha habido que duplicar algunas de las materias, con distinta amplitud o profundidad; pero para la mayoría de los temas esto no ha sido necesario. Para cada asignatura concreta, tomamos de nuestro todo los capítulos pertinentes y los orquestamos con buen juicio y, añadiendo aquellos ejercicios y problemas que mejor cuadren, terminamos componiendo un texto pertinente y proporcionado.
El que oiga esto por primera vez, quizá llegue a pensar que no es buen hacer el nuestro. La experiencia dice lo contrario; la experiencia dice que, salvo una rara excepción, los textos que así venimos confeccionando, que ya son muchos, resultan del agrado y a satisfacción de cuantos los han venido utilizando, tanto de profesores como de alumnos. Y, como no tenemos abuela, pensamos que, de día en día, aumenta nuestra pericia en esto de componer libros de texto a la carta.

En el caso concreto de este manual, Matemáticas para el Grado de Ingeniería Mecánica, se han agrupado los temas de un curso completo de Cálculo y Álgebra, completando 21 capítulos con teoría y ejercicios, sin duda, muy útiles para el futuro ingeniero. Y ya que han salido a colación los libros de texto que se utilizaban en los planes anteriores, en los anteriores a esta «reforma Bolonia» de ahora, creemos oportuno decir que, para lo de hoy, los textos de lo de ayer no son los más adecuados. Los libros, tanto ayer como hoy, para ser utilizables, serán rigurosos y precisos, serán claros. Pero hoy han de ser, además, especialmente accesibles, particularmente llanos, exageradamente inteligibles. Ha pasado ya la época en los que el profesor tenía holgura para extenderse en aclaraciones o ampliaciones; en estos momentos, el tiempo está tasado y la disposición del ánimo es menguada. Lo que acabamos de señalar ha sido determinante para nosotros, a ello hemos estado mirando constantemente mientras confeccionábamos este manual

Índice

Parte I.
CÁLCULO DE UNA VARIABLE REAL
Capítulo 1. LÍMITES DE LAS SUCESIONES
DE NÚMEROS REALES 3
1.1. Los números reales 3
1.2. Límites de sucesiones: definiciones 8
1.3. Órdenes de infinitésimos e infinitos. Equivalencias 9
1.4. Propiedades de los límites 14
1.5. es completo: propiedades 22
Ejercicios y Cuestiones 27
Capítulo 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE 39
2.1. Límites de funciones de una variable: definiciones 39
2.2. Órdenes de infinitos e infinitésimos. Equivalencias 41
2.3. Propiedades de los límites 45
2.4. Funciones continuas 50
2.5. Continuidad en intervalos 53
2.6. Continuidad uniforme 54
Ejercicios y Cuestiones 57

Capítulo 3. DERIVADAS DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE 67
3.1. Concepto de derivada 67
3.2. Propiedades y cálculo de derivadas 70
3.3. Teoremas del valor medio 74
3.4. Desarrollos limitados 79
3.5. Fórmula de Taylor 86
Ejercicios y Cuestiones 89
Capítulo 4. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
(UNA VARIABLE) 105
4.1. Estudio local de una función 105
4.2. Curvas en explícitas 107
4.3. Generalidades sobre curvas en polares 113
Ejercicios y Cuestiones 119
Capítulo 5. CÁLCULO DE PRIMITIVAS 131
5.1. Integral indefinida 131
5.2. Métodos generales de integración 134
5.3. Integración de las funciones racionales 135
5.4. Integración de algunas funciones trascendentes 138
5.5. Integración de algunas funciones irracionales 140
Ejercicios y Cuestiones 145
Capítulo 6. INTEGRAL SIMPLE 157
6.1. Integral definida 157
6.2. Propiedades fundamentales de las integrales 161
6.3. Integrales impropias 164
6.4. Criterios de convergencia para integrales
impropias 167
6.5. Aplicaciones geométricas de la integral 170
Ejercicios y Cuestiones 177

Capítulo 7. SERIES NUMÉRICAS Y DE POTENCIAS 191
7.1. Series de términos reales 191
7.2. Criterios de convergencia (para series de términos
positivos) 198
7.3. Series de términos reales cualesquiera 201
7.4. Series de potencias 203
7.5. Serie de Taylor 206
Ejercicios y Cuestiones 209

Parte II.
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES
Capítulo 1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 229
1.1. Límite de una función en un punto 229
1.2. Propiedades de los límites 231
1.3. Funciones continuas 235
1.4. Propiedades globales de la continuidad 237
1.5. Continuidad uniforme 239
Ejercicios y cuestiones 241
Capítulo 2. DERIVADAS Y DIFERENCIALES
(PARA VARIAS VARIABLES) 253
2.1. Derivadas (según vectores y parciales) 253
2.2. Diferencial de una función 258
2.3. Derivadas y diferenciales de orden superior 265
2.4. Derivadas y diferenciales de las funciones compuestas 270
Ejercicios y cuestiones 277

Capítulo 3. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
(VARIAS VARIABLES) 295
3.1. Funciones implícita e inversa 295
3.2. Extremos relativos 302
3.3. Extremos relativos condicionados 305
Ejercicios y cuestiones 311
Capítulo 4. INTEGRALES MÚLTIPLES
Y PARAMÉTRICAS 327
4.1. Integración en intervalos 327
4.2. Integración en conjuntos acotados 332
4.3. Métodos de integración 336
4.4. Integrales paramétricas 341
4.5. Integrales paramétricas impropias 345
Ejercicios y cuestiones 351
Capítulo 5. INTEGRALES CURVILÍNEAS
Y DE SUPERFICIE 371
5.1. Algo sobre las curvas 371
5.2. Integrales curvilíneas 374
5.3. Campos irrotacionales; función potencial 377
5.4. Independencia del camino 380
5.5. Teorema de Green
(o de la divergencia en dimensión 2) 381
5.6. Algo sobre las superficies 384
5.7. Integrales de superficie 392
5.8. Los teoremas de Gauss y de Stokes 396
Ejercicios y Cuestiones 407