Sinopsis

La materia que nos ocupa, el Álgebra, está de capa caída en los planes de estudios universitarios de estos tiempos. En los años sesenta entró, arrolladoramente, a formar parte de las enseñanzas básicas de toda carrera científico-técnica que se apreciase; con la perspectiva que da el paso del tiempo, aquello resulta hoy desmesurado. Con el correr de los años, y salvo para algunos estudios concretos, la cosa se fue atemperando; el Álgebra se ciñó, generalmente, a Álgebra Lineal, su peso específico se redujo y, con las oportunas matizaciones, las asignaturas de Álgebra pasaron a tener un tamaño adecuado. Pero la tal norma no se frenó; sigue hoy. La nueva orientación de los estudios universitarios, el predominio creciente de otras materias, la reducción generalizada de la carga lectiva en los planes de estudio, etc., están conduciendo, de hecho, a que el Álgebra esté cerca de ser una «miniasignatura», en cuanto al tiempo que se le concede, pero con unos contenidos aún razonables y, en algunos casos, incluso suficientes. A nadie extrañe, pues, lo difícil que está resultando preservar la dignidad de esta materia. Muchos abandonan el empeño: eliminan contenidos y amenguan los que no eliminan. Este viajar hacia abajo no parece haber acabado. No hemos entrado nosotros en esta espiral del descender; creemos que nos hemos situado en un punto acertado, en el que, sin concesiones a lo superfluo, no se omite nada de lo que es esencial. Nuestro principal objetivo es ofrecer un texto cuya virtud más destacada estribe en ser útil, provechoso para quienes hayan de vérselas con el Álgebra de un primer curso universitario. Y ello nos obliga a abordar los temas de modo que resulten lo más interesante y rentable para su buena comprensión y fácil asimilación, de suerte que alimenten y aprovechen al que se engolfa en ellos; también ambicionamos ayudar a que se aleje el riesgo de caer en algún sucedáneo del estudiar. Sólo se abordan las cuestiones que son básicas, las que son de interés manifiesto para avanzar con firmeza, las más necesitadas por la gran mayoría de los usuarios. Se han obviado las extensiones y los complementos, no hay floritura alguna; no es que todo esto se desprecie, que no es eso, es que no es éste su lugar. Cuando el novicio en Álgebra haya adquirido cierta veteranía puede entonces, pero no antes, serle de gran ayuda las generalizaciones, variantes y ampliaciones, que puede encontrar en otros textos. Este libro tiene dos partes: Álgebra propiamente dicha, la primera y más importante; Geometría (cartesiana), la segunda y más reducida. El Álgebra ocupa la mayor parte del texto: nueve de sus doce capítulos; la Geometría es la parte pequeña: sólo los tres últimos capítulos. La mayoría de los lectores potenciales estará interesada sólo en el Álgebra; una minoría estará también interesada en la Geometría. Es por ello que se tiene el proyecto de ofrecer un texto reducido, sin Geometría. Aún a riesgo de ser reiterativos, no nos resistimos a la tentación de insistir en algo que, aunque se supone de todos conocido, de facto parece ignorado: aquello que se estudia se llega, realmente, a dominar el día que se sabe utilizar, cuando se sabe aplicar y no antes; se engaña, y mucho, el que cree que con recordar las cosas leídas y entendidas, sabiéndolas repetir sin titubeos, éstas se aprenden. Por ello, este texto incluye un gran número de «ejercicios y cuestiones»: entre doce y quince por capítulo. Que nadie crea que entendió la «teoría» si no supo hacer (por sí) la mayoría de los tales ejercicios y cuestiones. Juan de Burgos Román Madrid, 24 de julio de 2007

Índice

Capítulo 1. Rango (de vectores y de matrices) Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 2. Operaciones con matrices Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 3. Determinantes Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 4. Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 5. Espacios vectoriales Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 6. Aplicaciones lineales Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 7. Formas cuadráticas Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 8. Espacios vectoriales euclídeos Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 9. Autovalores. Endomorfismos diagonalizables Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 10. Puntos, rectas y planos Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 11. Cónicas Ejercicios y Cuestiones

Capítulo 12. Cuádricas Ejercicios y Cuestiones

Apéndice A. Los números complejos Ejercicios y Cuestiones

Apéndice B. Geometría plana

Apéndice C. Forma canónica de Jordan