Sinopsis

Durante las últimas décadas se ha producido un vertiginoso desarrollo los dispositivos electrónicos de cálculo, ordenadores y calculadoras, lo que se ha traducido, entre otras cosas, en un incremento sustancial de la presencia del Cálculo Numérico en las actividades relacionadas con la Ciencia y la Ingeniería, tanto en su vertiente docente e investigadora, como en la actividad profesional e industrial.
Para que esta presencia siga siendo fructífera debería evitarse reducir los métodos numéricos a un conjunto de cajas negras cuyo contenido y leyes de funcionamiento se ignoran. Más bien al contrario, la extensiva utilización del Cálculo Numérico hace imprescindible dotar a los actuales estudiantes universitarios, y futuros profesionales, de un conocimiento sólido y riguroso de los fundamentos del Cálculo Numérico, que justificará su éxito, pero que también mostrará sus puntos débiles, aquellas circunstancias en que deberán utilizarse con precaución y cautela.
Esta exigencia parece entrar en contradicción con la actual reforma de los planes de estudio universitarios, que tienden a reducir, de forma prácticamente generalizada, el número de créditos asignados a las materias básicas, lo que, debido al inevitable proceso de ajuste al menor tiempo disponible, puede conducir a una reducción en el rigor con que se presentan.
Se propone también un cambio en el modelo de la enseñanza universitaria, que, entre otras cosas, implica una mayor responsabilidad del estudiante en el proceso de su aprendizaje. Esto lleva a una disminución de las horas presenciales en el aula, para poder aumentar, al menos en
teoría, el tiempo que el estudiante dedica al estudio y trabajo personal.
En el diseño de esta obra se ha intentado lograr un equilibrio entre los tres aspectos anteriores: a) presentar el contenido esencial de cada método con rigor, para hacer patente que los métodos numéricos están bien fundamentados, pero evitando, en lo posible, el tecnicismo matemático; b) reducir el número de métodos pero asegurando que el estudiante
dispondrá de herramientas suficientes, y c) proporcionar numerosos ejemplos y ejercicios que permitan el estudio personal.
La exposición de los distintos métodos se realiza de forma concisa, reduciendo las consideraciones teóricas y utilizando inmediatamente ejemplos para ilustrar los conceptos. Las demostraciones de los teoremas y propiedades que se consideran menos ilustrativos, o más técnicos, se proponen como últimos ejercicios, a realizar por el estudiante cuando éste ha manipulado suficientemente cada método.
Respecto de los ejercicios propuestos hemos limitado su número con el fin de que el estudiante no sienta que tiene ante sí una tarea ingente. Entendemos, no obstante, que el número es suficiente para adquirir, por una parte, la necesaria soltura en el manejo de los métodos y, por otra, la capacidad de profundizar en los mismos y adaptarlos a situaciones nuevas. No se plantean ejercicios repetitivos, en los que hay que volver a hacer esencialmente lo mismo que se hizo en el ejercicio anterior. Hemos procurado ordenarlos cuidadosamente en grado de dificultad y complejidad creciente y proponer ejercicios que se amplíen a sí mismos, de manera que cada ejercicio aporte un nuevo elemento, un nuevo matiz al conocimiento alcanzado con los anteriores.
Con el fin de que el estudiante pueda dedicar toda su atención al estudio y práctica de los métodos, la resolución de los ejercicios propuestos puede realizarse con una simple calculadora, en alguna ocasión incluso sin su ayuda. Por tanto, no es necesario utilizar un lenguaje de programación, ni disponer de un paquete de software comercial (su uso prematuro tiene el riesgo de convertir el Cálculo Numérico en simples recetas de cocina). No puede negarse, sin embargo, que la utilización de una calculadora programable o de una hoja de cálculo aliviará el trabajo necesario para realizar los cálculos más tediosos.
Índice

Capítulo 0. ELEMENTOS DISTINTIVOS
DEL CÁLCULO NUMÉRICO 1
0.1. El cálculo numérico. Errores 1
0.2. Representación de números. Error de redondeo 3
0.3. Aritmética de punto flotante 7
0.4. Algoritmos 16
Ejercicios y Cuestiones 19
Capítulo 1. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE LAGRANGE 35
1.1. Definiciones 35
1.2. Método de los coeficientes indeterminados 36
1.3. Teorema. Existencia y unicidad del polinomio
interpolante 37
1.4. Forma de Lagrange 38
1.5. Forma de Newton 41
1.6. Multiplicación anidada (método de Horner) 46
1.7. Diferencias divididas 47
1.8. Tabla de diferencias divididas 49
1.9. Error de interpolación 53
1.10. Error de interpolación y diferencias divididas 60
Ejercicios y Cuestiones 65
Capítulo 2. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
DE HERMITE 105
2.1. Definición 105
2.2. Existencia y unicidad del polinomio de Hermite 106
2.3. Forma de Lagrange del polinomio de Hermite 107
2.4. Error del polinomio interpolante de Hermite 108
2.5. Forma de Newton. Tabla de diferencias
divididas con nodos duplicados 110
Ejercicios y Cuestiones 115
Capítulo 3. INTERPOLACIÓN POLINÓMICA
A TROZOS 129
3.1. Introducción 129
3.2. Interpolación lineal a trozos 130
3.3. Interpolación cuadrática a trozos 134
Ejercicios y Cuestiones 137
Capítulo 4. INTERPOLACIÓN MEDIANTE SPLINES
CÚBICOS 143
4.1. Definición 143
4.2. Cálculo del spline cúbico 146
Ejercicios y Cuestiones 153
Capítulo 5. APROXIMACIÓN POR MÍNIMOS
CUADRADOS 173
5.1. Introducción 173
5.2. Recta de mínimos cuadrados 175
5.3. Parábola de mínimos cuadrados. Modelos lineales 178
5.4. Modelos no lineales 185
5.5. Aproximación continua por mínimos cuadrados 187
Ejercicios y Cuestiones 193
Capítulo 6. ECUACIONES NO LINEALES 221
6.1. Método de la Bisección 222
6.2. Método de la Régula Falsi 226
6.3. Método de Newton 229
6.4. Método de la Secante 236
6.5. Raíces múltiples 240
6.6. Raíces de funciones polinómicas 246
Ejercicios y Cuestiones 249
Capítulo 7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 301
7.1. Definiciones 302
7.2. Método de factorización LU 303
7.3. Método de factorización LU con pivotado 312
7.4. Aplicaciones 317
7.5. Sistemas tridiagonales 320
7.6. Método de Cholesky 325
Ejercicios y Cuestiones 331
Capítulo 8. SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 375
8.1. Método de Newton 376
8.2. Método de Newton simplificado 390
Ejercicios y Cuestiones 395
Capítulo 9. INTEGRACIÓN NUMÉRICA.
FÓRMULAS DE CUADRATURA 433
9.1. Introducción 433
9.2. Grado de exactitud 435
9.3. Obtención de reglas de cuadratura de Newton-Cotes 438
9.4. Fórmula del Trapecio, n = 1 439
9.5. Fórmula de Simpson, n = 2 442
9.6. Error de las fórmulas del Trapecio y Simpson 447
9.7. Estimación de errores 457
9.8. Resumen de fórmulas cerradas de Newton-Cotes 458
9.9. Integración de Romberg 459
9.10. Integración Gaussiana 464
Ejercicios y Cuestiones 473
Capítulo 10. DERIVACIÓN NUMÉRICA 531
10.1. Fórmulas para la derivada primera 532
10.2. Fórmulas para la derivada segunda 537
10.3. Resumen de fórmulas de derivación numérica
con nodos equiespaciados 542
10.4. Fórmulas de derivación con nodos
no equiespaciados 544
10.5. Extrapolación de Richardson 546
10.6. Errores de redondeo 550
Ejercicios y Cuestiones 559